Question

15．試判斷命題“設(shè)f（x）=x²+ax+b，a，b∈R，若f（x）=x無實(shí)根，則必有f（x）＞x且f（f（x））＞x”的逆否命題的真假．

Answer 1

分析 根據(jù)逆否命題的等價(jià)性先判斷原命題的真假．即可得到結(jié)論．

解答 解：若f（x）=x無實(shí)根，
∵f（x）=x²+ax+b對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，
∴f（x）的圖象恒在y=x的上方，即f（x）＞x成立，
∵f（x）＞x成立，
∴設(shè)t=f（x），
則f（t）＞t=f（x）＞x，
即f（t）＞x，
即f（f（x））＞x成立，
則原命題為真命題，則命題的逆否命題為真命題．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及逆否命題的等價(jià)性，利用一元二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．