【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1+alnx.(e為自然對數(shù)的底數(shù)),λ=min{a+2,5}.(min{a,b}表示a,b中較小的數(shù).)
(1)當(dāng)a=0時,設(shè)g(x)=f(x)﹣x,求函數(shù)g(x)在[,]上的最值;
(2)當(dāng)x1時,證明:f(x)+x2λ(x﹣1)+2.
【答案】(1)最大值為,最小值0;(2)詳見解析.
【解析】
(1)當(dāng)a=0時,化簡,通過g'(x)=ex﹣1﹣1,令g'(x)=0,求出極值點,判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后求解函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值即可.
(2)①當(dāng)a+25即a3時,λ=a+2.f(x)+x2λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a0,設(shè)k(x)=ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a,求出導(dǎo)函數(shù),構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合a3,a>3時,通過函數(shù)的最值,轉(zhuǎn)化證明即可.
解:(1)當(dāng)a=0時,,
則g'(x)=ex﹣1﹣1,令g'(x)=0,得x=1,
當(dāng)x1時,g'(x)0;當(dāng)x1時,g'(x)0,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
從而g(x)在上的最小值為g(1)=0,
因為,,
所以,
從而g(x)在上的最大值為.
(2)①當(dāng)a+25,即a3時,λ=a+2.f(x)+x2λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a0,
設(shè)k(x)=ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a,
則,
令,
則,
因為x1,
所以x2ex﹣1+2x2=x2(ex﹣1+2)3,
因為a3,
所以φ'(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1且a=3時,等號成立.
從而k'(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.
注意到k'(1)=1,所以k'(x)0,從而k(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
注意到k(1)=0,所以k(x)0,原不等式成立.
②當(dāng)a+25即a>3時,λ=5,f(x)+x2λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣5x+30,
由(1)知ex﹣1x,及x1,a3,
所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+33lnx+x2﹣4x+3.
設(shè)h(x)=3lnx+x2﹣4x+3,x1,
則,
所以h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
注意到h(1)=0,
所以h(x)0,原不等式成立.
綜上,當(dāng)x1時,不等式f(x)+x2λ(x﹣1)+2成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綿陽是黨中央、國務(wù)院批準(zhǔn)建設(shè)的中國唯一的科技城,重要的國防科研和電子工業(yè)生產(chǎn)基地,市某科研單位在研發(fā)過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值(值越大產(chǎn)品的性能越好)與這種新合金材料的含量(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)時,是的二次函數(shù);當(dāng)時,測得部分數(shù)據(jù)如表:
(單位:克) | |||||
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求該新合金材料的含量為何值時產(chǎn)品的性能達到最佳.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng),則稱點為平面上單調(diào)格點:設(shè)
求從區(qū)域中任取一點,而該點落在區(qū)域上的概率;
求從區(qū)域中的所有格點中任取一點,而該點是區(qū)域上的格點的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個角上分別截去一個邊長為x米的正方形后,沿虛線折起可做成一個無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮).
(Ⅰ)求水箱容積的表達式,并指出函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若要使水箱容積不大于立方米的同時,又使得底面積最大,求x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=﹣1和x=3處取得極值,試求a,b的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[﹣2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.
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【題目】如圖,正三角形ABC的邊長為2,D,E,F(xiàn)分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點,,,.
(1)當(dāng)時,求的大;
(2)求的面積S的最小值及使得S取最小值時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)是偶函數(shù).求的值,并在坐標(biāo)系中畫出的大致圖象;
(2)若當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)圖象上的任意兩點,且角φ的終邊經(jīng)過點,若|f(x1)﹣f(x2)|=4時,|x1﹣x2|的最小值為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)當(dāng)時,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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