Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠-1，前n項和為S_n，若集合M={S|S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$}，則集合M等于（　�。�

• A． {0}
• B． {0，$\frac{1}{2}$，1}
• C． {1，$\frac{1}{2}$}
• D． {0，$\frac{1}{2}$}

Answer 1

分析 當(dāng)q=1時，S_n=na₁，S_2n=2na₁，即可得出$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$．當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．對q分類討論即可得出．

解答 解：當(dāng)q=1時，S_n=na₁，S_2n=2na₁，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}}$=$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．
∴S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+{q}^{n}}$，
當(dāng)q＞1時，S=0．
當(dāng)0＜|q|＜1時，S=1．
當(dāng)q＜-1時，S=0．
綜上可得：集合M={0，1，$\frac{1}{2}$}．
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和公式、數(shù)列極限性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．