Question

11．函數(shù)f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{1}{e}$
• B． 0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$
• C． a≥$\frac{1}{e}$
• D． a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 先考慮函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公共的切線，a的值，再利用換元法，即可得出結(jié)論．

解答 解：先考慮函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，
且在公共點(diǎn)處有公共的切線，a的值．
兩函數(shù)互為反函數(shù)，則該切線即為y=x，設(shè)切點(diǎn)A，
可求出A（e，e），此時(shí)a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$．
若a＞e${\;}^{\frac{1}{e}}$時(shí)，則f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）無(wú)公共點(diǎn)；
若1＜a＜e${\;}^{\frac{1}{e}}$時(shí)，則f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）有兩個(gè)公共點(diǎn)．
對(duì)f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0），換元令t=e^a，即得t^x=log_tx，
由上知1＜e^a=t≤e${\;}^{\frac{1}{e}}$，得0＜a≤$\frac{1}{e}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．