Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若的值域?yàn)閰^(qū)間，是否存在常數(shù)，使區(qū)間的長(zhǎng)度為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：區(qū)間的長(zhǎng)度為）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 或.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意的對(duì)稱軸是，得到在區(qū)間遞增，列出不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的范圍；

（2）只需函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，通過(guò)討論，的情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）通過(guò)討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及的值，得到關(guān)于的方程，即可求解的值.

試題解析：

(1)根據(jù)題意得： 的對(duì)稱軸是，故在區(qū)間遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，故有，即，

故所求實(shí)數(shù)的范圍是；

（2）若對(duì)任意的，總存在，使成立，

只需函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，

時(shí)， 的值域是，

下面求， 的值域，

令，則， ，

①時(shí)， 是常數(shù)，不合題意，舍去；

②時(shí)， 的值域是，

要使 ，只需，計(jì)算得出；

③時(shí)， 的值域是，

要使 ，只需，計(jì)算得出；

綜上， 的范圍是.

（3）根據(jù)題意得，計(jì)算得出，

①時(shí)，在區(qū)間上， 最大， 最小，

，

計(jì)算得出： 或（舍去）；

②時(shí)，在區(qū)間上， 最大， 最小，

，計(jì)算得出： ；

③時(shí)，在區(qū)間上， 最大， 最小，

，

計(jì)算得出： 或，故此時(shí)不存在常數(shù)滿足題意，

綜上，存在常數(shù)滿足題意， 或.