Question

9．已知定義在R上的函數(shù)φ（x）與g（x）滿足：φ（x）+g（x）=e^x-x²-2x-2，φ（x）-g（x）=e^x+x²+2x-4；（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.78）；
（1）求φ（x），g（x）的解析式；
（2）對(duì)?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[0，1]，都有g(shù)（x₁）+ax₁+5≥φ（x₂）-x₂φ（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{φ（x），（x＞0）}\\{g（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，判斷方程f[f（x）]=2的解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用方程組法基本進(jìn)行求解即可．
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求h（x）_min≥F（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)分別求出h（x）和F（x）的最小值和最大值，即可．
（3）利用數(shù)形結(jié)合，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論求出方程的根的個(gè)數(shù)

解答 解：（1）∵φ（x）+g（x）=e^x-x²-2x-2，φ（x）-g（x）=e^x+x²+2x-4；
∴解得φ（x）=e^x-3，g（x）=-x²-2x+1；
（2）設(shè)h（x）=g（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，
F（x）=φ（x）-xφ（x）=（1-x）（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
對(duì)?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[0，1]，都有h（x）_min≥F（x）_max成立，
∵F′（x）=-xe^x+3在[0，1]上為減函數(shù)，
∴F′（x）_min≥F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）=7-a≥0}\\{h（1）=a+3≥0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤7，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，7]．
（3）當(dāng)f（x）＞0時(shí)，有e^f（x）-3=2，則f（x）=ln5，
當(dāng)f（x）≤0時(shí)，有f[f（x）]=-f（x）²-2f（x）+1=2，
則f（x）=-1，
即若f[f（x）]=2，則有f（x）=-1或f（x）=ln5，
而f（x）的圖象如圖所示：
y=f（x）與y=-1有2個(gè)交點(diǎn)，與y=ln5有1個(gè)交點(diǎn)，
則f[f（x）]=2共有3個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的方法，利用最值解決恒成立問題；利用數(shù)結(jié)合法解決方程根的個(gè)數(shù)問題．這是一道綜合性很強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)試題．難度較大．