Question

17．斜三棱柱底面邊長是4cm的正三角形，．側(cè)棱長3cm，側(cè)棱∠AA′C′=∠AA′B′=60°．
（1）求證：C′B′⊥AA′；
（2）求三棱柱的側(cè)面積；
（3）求三棱柱的體積．
（提示：過點A作底面A′B′C′的垂線，垂足為P．則點P在∠C′A′B′的角平分線上）

Answer 1

分析 （1）過A作AO垂直平面A′B′C′，垂足為O，過O作OH⊥A′B′于H，作OG⊥A′C′于G，然后利用三垂線定理可得AH⊥A′B′，AG⊥A′C′，再利用三角形全等證得A在底面的射影在∠C′A′B′的角平分線上，然后利用線面垂直的判定證明B′C′⊥面AA′O，從而可得C′B′⊥AA′；
（2）直接求出三個側(cè)面面積的和得答案；
（3）由（1）求出三棱柱的高，代入棱柱體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，

過A作AO垂直平面A′B′C′，垂足為O，過O作OH⊥A′B′于H，作OG⊥A′C′于G，
連接AH，AG，則AH⊥A′B′，AG⊥A′C′，
在Rt△AHA′和Rt△AGA′中，∵∠AA′C′=∠AA′B′=60°，AA′=3，∴$AH=AG=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
再在Rt△AOH和Rt△AOG中，由HL可得Rt△AOH≌Rt△AOG，∴OH=OG，即A在底面的射影在∠C′A′B′的角平分線上．
由AO⊥面A′B′C′，得AO⊥B′C′，
又△A′B′C′為正三角形，∴A′E⊥B′C′，
又AO∩A′E=O，∴B′C′⊥面AA′O，
∴C′B′⊥AA′；
（2）解：三棱柱的側(cè)面積為側(cè)面AA′B′B、側(cè)面AA′C′C、側(cè)面BB′C′C的面積和．
等于$4×\frac{3\sqrt{3}}{2}+4×\frac{3\sqrt{3}}{2}+4×3=12+12\sqrt{3}$；
（3）解：由（1）可求得$A′H=\frac{3}{2}$，∴$A′O=\sqrt{3}$，則$AO=\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴$V=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×\sqrt{6}=12\sqrt{2}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．