Question

15．若函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)點(diǎn)A（m，n），則函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）的單調(diào)遞增區(qū)間[1，3），．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，確定m，n，利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的進(jìn)行求解即可．

解答 解：由x+3=1得x=-2，此時(shí)y=log_a1-1=-1，
即函數(shù)過(guò)定點(diǎn)A（-2，-1），即m=-2，n=-1，
即f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）
設(shè)t=-x²+2x+3，由t=-x²+2x+3＞0得-1＜x＜3，且當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，函數(shù)t=-x²+2x+3遞增，
當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，函數(shù)t=-x²+2x+3遞減，
則函數(shù)y=${log}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
要求f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求t=-x²+2x+3的遞減區(qū)間，
即x∈[1，3），
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[1，3），
故答案為：[1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．