Question

5．如圖1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分別是AC，BC邊上的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)A在平面CDE內(nèi)的射影恰好為M．
（I）求AM的長；
（Ⅱ）求面DCE與面BCE夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由題意和等邊三角形的知識可得；
（II）在平面ABED內(nèi)，過AD的中點(diǎn)O作AD的垂線OF，交BE于F點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OF為y軸，OC為z軸建立坐標(biāo)系，由垂直關(guān)系可得面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$，進(jìn)而可得cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$＞的值，即得答案．

解答 解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M為CD的中點(diǎn)，
∴$AC=AD=DC=2，AM=\sqrt{3}$；
（II）在平面ABED內(nèi)，過AD的中點(diǎn)O作AD的垂線OF，交BE于F點(diǎn)，
以O(shè)A為x軸，OF為y軸，OC為z軸建立坐標(biāo)系，
可得$A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），C（0，0，\sqrt{3}），E（-1，1，0），M（-\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}=（-\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{CB}=（1，2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{EB}=（2，1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為面BCE的法向量，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2x+y=0}\end{array}\right.$可得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴面DCE與面BCE夾角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

點(diǎn)評 本題考查空間向量與立體幾何，建系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．