Question

6．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，E是PC的中點(diǎn)，$AB=\sqrt{3}$，PA=AC=1．
（1）求證：AE⊥PB；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直得PA⊥BC，由圓O的直徑，得AC⊥BC，從而AE?平面PAC，進(jìn)而B(niǎo)C⊥AE，由等腰三角形性質(zhì)得AE⊥PC，由此能證明AE⊥PB．
（2）過(guò)A作AF⊥PB交PB于F，連接EF，推導(dǎo)出∠AFE是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴PA⊥BC，
又AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC
∴BC⊥AE…（3分）
∵PA=AC，E是PC的中點(diǎn)
∴AE⊥PC，又BC∩PC=C
∴AE⊥平面PBC，又PB?平面PBC
∴AE⊥PB． …（6分）
解：（2）過(guò)A作AF⊥PB交PB于F，連接EF
又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF
∴PB⊥EF，又AF⊥PB
∴∠AFE是二面角A-PB-C的平面角…（9分）
∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，則$PC=\sqrt{2}$，$AE=\frac{PA•AC}{PC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
在Rt△PAB中，PA=1，$AB=\sqrt{3}$，同理得$AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴在Rt△AEF中，$sin∠AFE=\frac{AE}{AF}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
故二面角A-PB-C的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．