Question

【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若，則稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)．對(duì)于狄利克雷函數(shù)，給出下面4個(gè)命題：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有；③對(duì)任意，都有， ；④對(duì)任意，都有．其中所有真命題的序號(hào)是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】①當(dāng)x∈Q，則f（x）=1，f（1）=1，則[f（x）]=1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，則f（x）=0，f（0）=1，則[f（x）]=1，即對(duì)任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正確，②當(dāng)x∈Q，則-x∈Q，則f（-x）=1，f（x）=1，此時(shí)f（-x）=f（x），當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，則-x是無(wú)理數(shù)，則f（-x）=0，f（x）=0，此時(shí)f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤，③當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)， 是無(wú)理數(shù)，所以，當(dāng)是有理數(shù)時(shí)， 是有理數(shù)，所以，故③正確，④∵f（x）≥0恒成立，∴對(duì)任意a，b∈（-∞，0），都有 ，故④正確，故正確的命題是①③④，故選D.