Question

3．已知函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$（x＞2，a＞6）的最小值是5，求a的值．

Answer 1

分析 x＞2，a＞6，變形函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$=x-2+$\frac{a-6}{x-2}$-1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x＞2，a＞6，
∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$=$\frac{{x}^{2}-2x-3（x-2）+a-6}{x-2}$=x-2+$\frac{a-6}{x-2}$-1≥$2\sqrt{（x-2）•\frac{a-6}{x-2}}$-1=2$\sqrt{a-6}$-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=$\sqrt{a-6}$時(shí)，函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$（x＞2，a＞6）的最小值2$\sqrt{a-6}$-1，
∴2$\sqrt{a-6}$-1=5，解得a=15．此時(shí)x=5．
∴a=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．