Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點恰為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F₂，雙曲線C的左焦點為F₁，若以F₂為圓心的圓過點F₁及雙曲線C與該拋物線的交點，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出交點坐標（c，±2c）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：設(shè)交點坐標（x，y），則
由題意，$\frac{p}{2}=c$，∴p=2c．
∵以F₂為圓心的圓過點F₁及雙曲線C與該拋物線的交點，
∴x+$\frac{p}{2}$=2c，∴x=c，
∴y²=2pc=4c²，∴y=±2c，
（c，±2c）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定以F₂為圓心的圓過點F₁及雙曲線C與該拋物線的交點坐標是關(guān)鍵．