Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）若f（x）能表示成一個奇函數(shù)g（x）和一個偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（2）已知P={a|函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)}；Q={a|函數(shù)g（x）是減函數(shù)}．求（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）；
（3）在（2）的條件下，比較f（2）與3-lg2的大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=g（x）+h（x），利用函數(shù)的奇偶性，組成方程組，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）配方，利用函數(shù)在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)，可得命題P為真的條件；利用函數(shù)g（x）=（a+1）x是減函數(shù)，可得命題Q為真的條件，從而可求命題P、Q有且僅有一個是真命題，即（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）；
（3）由（1）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，確定函數(shù)v（a）=2a+lg（a+2）+6，在區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，即可求得結(jié)論

解答 解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x），
∴f（-x）=-g（x）+h（x），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²+（a+1）x+lg|a+2|-x²+（a+1）x-lg|a+2|]=（a+1）x
h（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²+（a+1）x+lg|a+2|+x²-（a+1）x+lg|a+2|]=x²+lg|a+2|；
（II）∵函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=（x+$\frac{a+1}{2}$）²-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$+lg|a+2|在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)，
∴（a+1）²≥-$\frac{a+1}{2}$，解得a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$且a≠-2
又由函數(shù)g（x）=（a+1）x是減函數(shù)，得a+1＜0，
∴a＜-1且a≠-2
∴命題P為真的條件是：P={a|a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$且a≠-2}，Q={a|a＜-1且a≠-2}．
∴（P∩C_RQ）∪（Q∩C_RP）={a|a＞-$\frac{3}{2}$}；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，
∵a＞-$\frac{3}{2}$，
∴f（2）=2a+lg（a+2）+6，
設(shè)函數(shù)v（a）=2a+lg（a+2）+6，
v′（a）=2+$\frac{1}{（a+2）ln10}$＞0．
∴函數(shù)v（a）在區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，+∞）上為增函數(shù)．
又∵v（-$\frac{3}{2}$）=3-lg2，
∴當a＞-$\frac{3}{2}$時，v（a）＞v（-$\frac{3}{2}$），
即f（2）＞3-lg2

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，正確運用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵