Question

11．F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，且∠PF₁F₂=60°，則△PF₁F₂的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出a，c的值，借助于橢圓定義及余弦定理求出|PF₁|，然后代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由題意可得 a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，故|F₁F₂|=2×2=4，
|PF₁|+|PF₂|=6，|PF₂|=6-|PF₁|，
∵$|P{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$-2|PF₁|•|F₁F₂|cos60°=$|P{F}_{1}{|}^{2}$-4|PF₁|+16，
∴（6-|PF₁|）²=$|P{F}_{1}{|}^{2}$-4|PF₁|+16，
∴|PF₁|=$\frac{5}{2}$，
故三角形PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|P{F}_{1}|•sin60°$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及焦點三角形問題，常采用橢圓的定義及余弦定理求解，是中檔題．