Question

2．如圖，函數(shù)y=f（x）是可導函數(shù)，曲線y=f（x）過點（2，3），且在x=2處的切線l在y軸上的截距為2，令g（x）=xf（x），則曲線y=g（x）在x=2處的切線方程是4x-y-2=0．

Answer 1

分析 先從圖中求出切點，再求出直線l的斜率，利用導數(shù)在切點處的導數(shù)值為切線的斜率，最后結(jié)合導數(shù)的運算法則，求出g′（2）的值，再由點斜式方程，即可得到所求切線方程．

解答 解：∵曲線y=f（x）過點（2，3），
∴f（2）=3，
又在x=2處的切線l在y軸上的截距為2，
∴切線的斜率為k=$\frac{3-2}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
即有f′（2）=$\frac{1}{2}$，
∵g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x），
則g′（2）=f（2）+2f′（2）=3+2×$\frac{1}{2}$=4，
曲線y=g（x）在x=2處的切線方程是y-6=4（x-2），
即為4x-y-2=0．
故答案為：4x-y-2=0．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲線的切線的斜率，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵．