Question

19．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=x+$\frac{1}{x}$+1．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)可得y=-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，由x²+1≥1結(jié)合不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1≥3，當(dāng)x＜0時(shí)，由基本不等式可得y≤-1，綜合可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{-（{x}^{2}+1）+2}{{x}^{2}+1}$=-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∵x²+1≥1，∴0＜$\frac{2}{{x}^{2}+1}$≤2，∴-1＜-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$≤1，
∴y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域?yàn)椋?1，1]；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$即x=1時(shí)取等號(hào)；
當(dāng)x＜0時(shí)，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1=-（-x+$\frac{1}{-x}$）+1
≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}$+1=-1，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-$\frac{1}{x}$即x=-1時(shí)取等號(hào)；
綜上可得函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$+1的值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，涉及分類常數(shù)法和基本不等式法，屬中檔題．