設(shè)y=f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≤-1時,y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(-2,2),斜率為-1的一條射線,又當(dāng)x∈[-1,0]時,y=f(x)的圖象是頂點在(0,2),且過點(-1,1)的一段拋物線.
(1)試寫出函數(shù)y=f(x)在R上的表達式;
(2)作出函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象并寫出它的單調(diào)區(qū)間.
考點:函數(shù)圖象的作法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由條件求出當(dāng)x≤-1時f(x)的解析式,當(dāng)x∈[-1,0]時f(x)的解析式,再結(jié)合f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,求得當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)的解析式,當(dāng)x≥1時,f(x)的解析式,綜合可得結(jié)論.
(2)由函數(shù)f(x)的解析式作出函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象,數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答: 解:(1)由題意可得當(dāng)x≤-1時,f(x)的圖象是一條射線,端點為A(-1,1),且經(jīng)過點B(-2,2),
故函數(shù)的f(x)的解析式為f(x)=-x.
當(dāng)x∈[-1,0]時,y=f(x)的圖象是頂點在(0,2),且過點(-1,1)的一段拋物線.
設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+2,把點A(-1,1)代入求得a=-1,
故f(x)=-x2+2.
再根據(jù)f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,可得當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=-x2+2,
當(dāng)x≥1時,f(x)=x.
綜上可得,f(x)=
-x,x≤-1
-x2+2,-1<x<1
x,x≥1

(2)由函數(shù)f(x)的解析式作出函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象:
結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得,
它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1]、[0,1];
增區(qū)間為(-1,0)、(1,+∞).
點評:本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)圖象的對稱性,求函數(shù)的解析式,做函數(shù)的圖象,屬于中檔題.
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下列幾個命題,正確的有
 
.(填正確命題的序號)
①若方程x2+(a-3)x+a=0有一個正實根,一個負實根,則a<0;
②若函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1成軸對稱;
③函數(shù)f(x)=log
1
3
(6-x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-
1
2
,2).

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(1)若l1∥l2,求 a的值;
(2)若l1與l2相交,交點縱坐標(biāo)為正數(shù),求a的范圍.

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設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a42+2a4a7+a6a8=4,則a5a6=
 

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若實數(shù)x,y滿足
x+y
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=
5
,則
|1-xy|
1+x2
1+y2
=
 

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已知圓過點P(4,2)、Q(-1,3),且在x軸、y軸上的四個截距之和為2,求此圓的方程.

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已知向量
m
=(sinx,
1
2
),
n
=(sinx+
3
cosx,3),f(x)=
m
n
△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且f(A)=3.
(1)求角A的大小;
(2)若a=
3
,b=1,求c的值.

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已知f(x)=x+sinx,則滿足不等式f(2m)+f(2-m)>0的實數(shù)m的取值范圍是
 

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