Question

20．（1）已知不等式ax²+bx-1＞0解集為{x|3＜x＜4}，解關(guān)于x的不等式$\frac{bx-1}{ax-1}≥0$；
（2）已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{16}{x-2}，x≠2$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：（1）∵不等式ax²+bx-1＞0解集為{x|3＜x＜4}，
∴3，4是對應(yīng)方程ax²+bx-1=0的兩根，且a＜0，
則3×4=-$\frac{1}{a}$=12，即a=-$\frac{1}{12}$，
3+4=-$\frac{a}$=12a=7，
則b=$\frac{7}{12}$，則不等式式$\frac{bx-1}{ax-1}≥0$等價為$\frac{\frac{7}{12}x-1}{-\frac{1}{12}x-1}$≥0，
即$\frac{7x-12}{-x-12}$≥0，
得-12＜x≤$\frac{12}{7}$，即不等式的解集為（-12，$\frac{12}{7}$]．
（2）f（x）=x+$\frac{16}{x-2}$=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2，
若x＞2，則x-2＞0，則f（x）=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2≥2+2$\sqrt{（x-2）•\frac{16}{x-2}}$=2+8=10，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=$\frac{16}{x-2}$，即（x-2）²=16，x-2=4，x=6時取等號，
若x＜2，則x-2＜0，則f（x）=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2≤2-2$\sqrt{（2-x）•\frac{16}{2-x}}$$\sqrt{（x-2）•\frac{16}{x-2}}$=2-8=-6，當(dāng)且僅當(dāng)-（x-2）=-$\frac{16}{x-2}$，即（x-2）²=16，x-2=-4，x=-2時取等號，
綜上f（x）≥10或f（x）≤-6，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-6]∪[10，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次不等式，分式不等式以及基本不等式的應(yīng)用和求解，利用不等式和方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．