Question

9．已知關(guān)于點(diǎn)（x，y）的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{2x-y+2≤0}\\{4x-y+5≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則D內(nèi)使得z=x²+y²取得最大值和最小值時(shí)的最優(yōu)解組成的集合為{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，聯(lián)立方程組求出三角形兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過(guò)原點(diǎn)與直線2x-y+2=0垂直的直線方程，進(jìn)一步求出垂足的坐標(biāo)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{2x-y+2≤0}\\{4x-y+5≥0}\end{array}\right.$作出平面區(qū)域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+5=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，解得A（-1，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+5=0}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（$-\frac{3}{2}，-1$）．
則可行域內(nèi)B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大；
又過(guò)原點(diǎn)與直線2x-y+2=0垂直的直線方程為$y=-\frac{1}{2}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得兩直線交點(diǎn)為（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）．
∴D內(nèi)使得z=x²+y²取得最大值和最小值時(shí)的最優(yōu)解組成的集合為{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．
故答案為：{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．