Question

設m∈R，若x＞0時，均有[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0恒成立，則m=（　　）

• A、

  16

  25

• B、

  4

  5

• C、

  9

  4

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：若m≤1，由于x＞0，可得（m-1）x-1＜0，而y=x²-mx-1的圖象開口向上，[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0不恒成立．因此m＞1．由（m-1）x-1=0，解得x=

1

m-1

＞0，而方程x²-mx-1=0的兩個實數(shù)根異號，x=

1

m-1

必定是方程x²-mx-1=0的一個正根，即可得出．

解答： 解：若m≤1，∵x＞0，則（m-1）x-1＜0，由于y=x²-mx-1的圖象開口向上，
∴[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0不恒成立，
因此m＞1．
由（m-1）x-1=0，解得x=

1

m-1

＞0，而方程x²-mx-1=0的兩個實數(shù)根異號，
∴x=

1

m-1

必定是方程x²-mx-1=0的一個正根，
把x=

1

m-1

代入方程x²-mx-1=0可得：(

1

m-1

)2-

m

m-1

-1=0，又m＞1，解得m=

3

2

．
故選：D．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的解的情況、函數(shù)的零點，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．