【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;
(3)設(shè)函數(shù) ,若對任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0)的圖象是開口朝上,且以直線x= 為對稱軸的拋物線,

若f(x)在區(qū)間[1,2]為單調(diào)增函數(shù)

,

解得:


(2)解:①當(dāng)0< <1,即a> 時,f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),

此時g(a)=f(1)=3a﹣2

②當(dāng)1≤ ≤2,即 時,f(x)在區(qū)間[1, ]是減函數(shù),在區(qū)間[ ,2]上為增函數(shù),

此時g(a)=f( )=

③當(dāng) >2,即0<a< 時,f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),

此時g(a)=f(2)=6a﹣3

綜上所述:


(3)解:對任意x1,x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,

即f(x)min≥h(x)max,

由(2)知,f(x)min=g(a)

又因為函數(shù) ,

所以函數(shù)h(x)在[1,2]上為單調(diào)減函數(shù),所以 ,

①當(dāng) 時,由g(a)≥h(x)max得: ,解得 ,(舍去)

②當(dāng) 時,由g(a)≥h(x)max得: ,即8a2﹣2a﹣1≥0,

∴(4a+1)(2a﹣1)≥0,解得

所以

③當(dāng) 時,由g(a)≥h(x)max得: ,解得 ,

所以a

綜上所述:實數(shù)a的取值范圍為


【解析】(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]為單調(diào)增函數(shù),則 ,解得a的取值范圍;(2)分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關(guān)系,分析出各種情況下g(x)的表達(dá)式,綜合討論結(jié)果,可得答案;(3)不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,即f(x)min≥h(x)max , 分類討論各種情況下實數(shù)a的取值,綜合討論結(jié)果,可得答案.

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3

4

5

6

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