【題目】已知函數(shù)f(x)=a﹣ 為奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)試判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若對任意的t∈R,不等式f[t2﹣(m﹣2)t]+f(t2﹣m+1)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(﹣x)=﹣f(x);
∴a﹣ =﹣a+ ;
∴2a= ;
∴a=1
(2)解:任意x1,x2∈R,且x1<x2;
f(x1)﹣f(x2)=1﹣ ﹣1+ ;
= <0;
∵x1<x2∴0< <
∴ >0,
所以,f(x1)<f(x2);
則f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)
(3)解:因?yàn)閒(x)=1﹣ 為奇函數(shù),且在R上為增函數(shù);
所以由f(t2﹣(m﹣2)t)+f(t2﹣m+1)>0恒成立,
得到:t2﹣(m﹣2)t>m﹣1﹣t2 對t∈R恒成立;
化簡后:2t2﹣(m﹣2)t﹣m+1>0;
所以△=(m﹣2)2+8(m﹣1)<0;
∴﹣2﹣2 <m<﹣2+2 ;
故m的取值范圍為:(﹣2﹣2 ,﹣2+2 )
【解析】(1)直接利用奇函數(shù)的定義f(﹣x)=f(x),可求出a值;(2)直接利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可;(3)利用奇函數(shù)與單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為t2﹣(m﹣2)t>m﹣1﹣t2 對t∈R恒成立,從而求出m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用奇偶性與單調(diào)性的綜合,掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,側(cè)面為菱形,底面是等腰直角三角形, .
(1)求證:直線直線;
(2)若直線與底面成的角為60°,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;
(3)設(shè)函數(shù) ,若對任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為,頂點(diǎn)為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn).設(shè)的斜率為, 的斜率為,試問是否為定值?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x| >0},集合B={x|y=lg(﹣x2+3x+28)},集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}.
(1)求(RA)∩B;
(2)若B∪C=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】本市某玩具生產(chǎn)公司根據(jù)市場調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準(zhǔn)備每天生產(chǎn), , 三種玩具共100個(gè),且種玩具至少生產(chǎn)20個(gè),每天生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí),已知生產(chǎn)這些玩具每個(gè)所需工時(shí)(分鐘)和所獲利潤如表:
玩具名稱 | |||
工時(shí)(分鐘) | 5 | 7 | 4 |
利潤(元) | 5 | 6 | 3 |
(Ⅰ)用每天生產(chǎn)種玩具個(gè)數(shù)與種玩具表示每天的利潤(元);
(Ⅱ)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=( )x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,令h(x)=g(1﹣|x|),則關(guān)于h(x)有下列命題:
①h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;
②h(x)為偶函數(shù);
③h(x)的最小值為0;
④h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
其中正確命題的序號為: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線方程為.
(1)求該雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、離心率;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)是該雙曲線的中心,而焦點(diǎn)是其左頂點(diǎn),求拋物線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于, 兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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