Question

2．求下列情況下的概率．
（1）在集合{-3，-2，-1，1，2，3}中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，分別記為a，b，求使得方程x²+2ax-b²+π=0有實(shí)根的概率
（2）在區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，分別記為a，b，求使得方程x²+2ax-b²+π=0有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，分別確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求使得方程x²+2ax-b²+π=0有實(shí)根的概率；
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，由a，b使得函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+π有零點(diǎn)，得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，寫出試驗(yàn)發(fā)生時(shí)包含的所有事件和滿足條件的事件，做出對(duì)應(yīng)的面積，求比值得到結(jié)果．

解答 解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型．
∵方程x²+2ax-b²+π=0有實(shí)根，
∴△=4a²+4b²-4π≥0，
∴a²+b²≥π，
在集合{-3，-2，-1，1，2，3}中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，有A₆²=30種方法，滿足a²+b²≥π有29種方法，
∴使得方程x²+2ax-b²+π=0有實(shí)根的概率為$\frac{29}{30}$；
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵a，b使得函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+π有零點(diǎn)，
∴△≥0
∴a²+b²≥π
試驗(yàn)發(fā)生時(shí)包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}
∴S=4π²，
而滿足條件的事件是{（a，b）|a²+b²≥π}，
∴S=4π²-π²=3π²，
由幾何概型公式得到P=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查古典概型、幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確區(qū)分兩種概率類型是關(guān)鍵．