Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，面PAD⊥面ABCD，PA=PD=CD=BC=1，AB=2，AD=$\sqrt{2}$．
（1）證明：AP⊥面PBD．
（2）若點E是線段PB上一點，且$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求三棱錐P-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理證明BD⊥AD，AP⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明AP⊥面PBD．
（2）轉(zhuǎn)換底面，即可求三棱錐P-ADE的體積．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，AD=$\sqrt{2}$．
∴AD²+BD²=AB²，
∴BD⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴BD⊥面PAD，
∴BD⊥AP，
∵PA=PD=1，AD=$\sqrt{2}$，
∴PA²+PD²=AD²，
∴AP⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴AP⊥面PBD．
（2）解：由（1）BD⊥面PAD，
∵$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EB}$，
∴E到平面PAD的距離=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱錐P-ADE的體積=三棱錐E-PAD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐P-ADE的體積，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．