Question

【題目】中， 是的中點(diǎn)， ，其周長(zhǎng)為，若點(diǎn)在線段上，且．

（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若是射線上不同兩點(diǎn)， ，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，直線與交于另一點(diǎn)．證明： 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系， 得的軌跡方程為，再將相應(yīng)的點(diǎn)代入即可得到點(diǎn)的軌跡的方程；（2）由（1）中的軌跡方程得到軸，從而得到，即可證明是等腰三角形.

試題解析：解法一：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意得.

由，得，

因?yàn)楣?/span>，

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓（除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)），

所以的軌跡方程為.

設(shè)，依題意，

所以，即，

代入的軌跡方程得， ，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè).

由題意得直線不與坐標(biāo)軸平行，

因?yàn)?/span>，所以直線為，

與聯(lián)立得，

，

由韋達(dá)定理，

同理，

所以或，

當(dāng)時(shí)， 軸，

當(dāng)時(shí)，由，得，

同理， 軸.

因此，故是等腰三角形.

解法二：

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意得.

在軸上取，

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，

所以，

則，

故的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓（除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)），

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)， ，

由題意得，直線斜率不為0，且，

故設(shè)直線的方程為： ，其中，

與橢圓方程聯(lián)立得， ，

由韋達(dá)定理可知， ，

其中，

因?yàn)?/span>滿足橢圓方程，故有，

所以.

設(shè)直線的方程為： ，其中，

同理，

故

，

所以，即軸，

因此，故是等腰三角形.