已知b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意α，β∈R有f(sinα)≥0，f(2＋cosβ)≤0．

(1)求f(1)的值；

(2)證明c≥3

(3)設(shè)f(sinα)的最大值為10，求f(x)．

答案：
解析：

　　(1)對(duì)任意α，β∈R，有－1≤sinα≤1，1≤2＋cosβ≤3．f(sinα)≥0，f(2＋cosβ)≤0，所以f(1)≥0且f(1)≤0，從而f(1)＝0．

　　(2)由(1)可知f(1)＝1＋b＋c＝0，所以b＝－1－c①．當(dāng)β∈R時(shí)，1≤2＋cosβ≤3，因?yàn)?I>f(2＋cosβ)≤0恒成立，所以應(yīng)有f(3)≤0，即32＋3b＋c≤0②．由①②得c≥3．

　　(3)由(1)(2)可知，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向上，過(guò)定點(diǎn)(1，0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝≥2的拋物線(xiàn)．故當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f(x)是減函數(shù)．而對(duì)任意α∈R，有sinα∈[－1，1]，所以只有當(dāng)sinα＝－1時(shí)f(sinα)才取得最大值10．f(sinα)＝sin2α＋bsinα＋c，所以(－1)2＋b(－1)＋c＝10，即1－b＋c＝10．又1＋b＋c＝0，所以b＝－5，c＝4，所以f(x)＝x2－5x＋4．


提示：

由α，β的任意性知，－1≤sinα≤1，1≤2＋cosβ≤3，故在[－1，1]上，f(x)≥0恒成立，在[1，3]上，f(x)≤0恒成立．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在區(qū)間上[1，3]的函數(shù)值大于0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
1
2
，
3
5
)
C、（1，+∞）
D、(0，
3
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga[（
1
a
-2）x+1]在區(qū)間[1，3]上的函數(shù)值大于0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（1，+∞）
B、（0，
3
5
）
C、（
1
2
，1）
D、（
1
2
，
3
5
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，+∞），部分函數(shù)值如下表，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f'（x）的圖象如圖所示．如果實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足f（a）＜1，則a的取值范圍是（　�。�
x -2 0 4
　f（x） 1 -1 1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-2mx+1，若對(duì)于[0，1]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，函數(shù)值f（a），f（b），f（c）都能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則滿(mǎn)足條件的m的值可以是
（0＜m＜
2
2
內(nèi)的任一實(shí)數(shù)）
（0＜m＜
2
2
內(nèi)的任一實(shí)數(shù)）
．（寫(xiě)出一個(gè)即可）

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