Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N^*時，a^n＋1＋(a＋1)^2n－1能被a²＋a＋1整除．

Answer 1

證明：(1)當(dāng)n＝1時，a²＋(a＋1)＝a²＋a＋1能被a²＋a＋1整除．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N^*)時，a^k＋1＋(a＋1)^2k－1能被a²＋a＋1整除，

當(dāng)n＝k＋1時，

a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1＝a·a^k＋1＋(a＋1)²(a＋1)^2k－1＝

a·a^k＋1＋a·(a＋1)^2k－1＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1＝

a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1.

由假設(shè)可知a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]能被a²＋a＋1整除，

∴a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1也能被a²＋a＋1整除，

即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．

綜合(1)(2)知，對任意的n∈N^*命題都成立．