Question

9．以直角坐標(biāo)系中原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半徑r=$\sqrt{3}$．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若α=[0，$\frac{π}{4}$），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的圓心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）化為直角坐標(biāo)（1，1），半徑r=$\sqrt{3}$，可得直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=3．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（2，2），把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入：弦長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）圓C的圓心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）化為直角坐標(biāo)（1，1），半徑r=$\sqrt{3}$，
∴直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=3．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．
（2）設(shè)P（2，2），把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，
∴t₁+t₂=-（2cosα+2sinα），t₁t₂=-1．
∴弦長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2cosα+2sinα）^{2}+4}$=$\sqrt{8+4sin2α}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{4}$），∴sin2α∈[0，1），
∴$\sqrt{8+4sin2α}$∈$[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}）$，
∴弦長|AB|的取值范圍是$[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．