Question

3．已知邊長為8$\sqrt{3}$的正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知圓過定點(diǎn)D（0，2），圓心M在拋線線C上運(yùn)動，且圓M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|=l₁，|DB|=l₂，求$\frac{l_1}{l_2}$+$\frac{l_2}{l_1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得此正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為$（±4\sqrt{3}，12）$，代入拋物線方程解得p即可得出．
（2）設(shè)M（a，b），則a²=4b．半徑R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，可得⊙M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0，解得x，可得A，B．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得：l₁，l₂．代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得此正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為$（±4\sqrt{3}，12）$，
代入拋物線方程可得$（±4\sqrt{3}）^{2}=2p×12$，解得p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設(shè)M（a，b），則a²=4b．半徑R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
可得⊙M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0，可得x²-2ax+4b-4=0，
∴x²-2ax+a²-4=0，解得x=a±2，
不妨設(shè)A（a-2，0），B（a+2，0）．
∴${l_1}=\sqrt{{{（a-2）}^2}+4}$，${l_1}=\sqrt{{{（a+2）}^2}+4}$，
∴$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=\frac{{{l_1}^2+{l_2}^2}}{{{l_1}{l_2}}}=\frac{{2{a^2}+16}}{{\sqrt{{a^4}+64}}}=2\sqrt{\frac{{{{（{a^2}+8）}^2}}}{{{a^4}+64}}}=2\sqrt{1+\frac{{16{a^2}}}{{{a^4}+64}}}$，（*）
當(dāng)a≠0時(shí)，由（*）得，$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=2\sqrt{1+\frac{16}{{{a^2}+\frac{64}{a^2}}}}≤2\sqrt{1+\frac{16}{2×8}}=2\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)${a^2}=\frac{64}{a^2}$，即$a=±2\sqrt{2}$時(shí)取等號． 
當(dāng)a=0時(shí)，$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=2$，
綜上可知：當(dāng)$a=±2\sqrt{2}$時(shí)，所求最大值為$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)性質(zhì)及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．