Question

若實數(shù)x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x=x₀為f（x）的不動點．已知函數(shù)f（x）=x³+bx+3，其中b為常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若存在一個實數(shù)x₀，使得x=x₀既是f（x）的不動點，又是f（x）的極值點．求實數(shù)b的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)不動點的定義及函數(shù)極值的意義，列出方程組解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）因f（x）=x³+bx+3，故f′（x）=3x²+b． 
當(dāng)b≥0時，顯然f（x）在R上單增； 
當(dāng)b＜0時，x＞

- b 3

或x＜-

- b 3

． 
所以，當(dāng)b≥0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)b＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

- b 3

），（

- b 3

，+∞）；
（Ⅱ）由條件知

3 x 2 0 +b=0 x 3 0 +bx0+3=x0

，于是2

x

3 0

+x₀-3=0，
即（x₀-1）（2

x

2 0

+2x0+3）=0，解得x₀=1，
從而b=-3．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的極值的意義及不動點的定義的運用，屬于中檔題．