Question

10．已知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=13，a₄=7．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，并求出S_n的最大值及對(duì)應(yīng)項(xiàng)；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）求出{a_n}是等差數(shù)列的公差，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的前n項(xiàng)和，通過(guò)二次函數(shù)的最值求解即可．
（3）利用絕對(duì)值求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=13，a₄=7．
可得3d=a₄-a₁=7-13=-6，∴d=-2．
∴a_n=13-2（n-1）=15-2n．
（2）S_n=13n+$\frac{n（n-1）}{2}$•（-2）=-n²+14n=-（n-7）²+49．
∴當(dāng)n=7時(shí)，S_n取最大值S₇=49．
（3）當(dāng)n≤7時(shí)，a_n＞0，T_n=13n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=12n+n²，
T₇=13+11+9+7+5+3+1=53．
當(dāng)n＞7，a_n＜0，
T_n=|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a_n|=2T₇-（a₁+a₃+a₅+…+a_n）=108-12n-n²．
T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n+{n}^{2}，n≤7，n∈{N}^{•}}\\{108-12n-{n}^{2}，n＞7，n∈{N}^{•}}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．