Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值，并求出這時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到θ的三角函數(shù)值，求θ；
（2）利用θ表示向量的和，然后求模，利用三角函數(shù)恒等變形化簡(jiǎn)，求最值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$即sin2θ=$-\frac{1}{2}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），所以2θ=$-\frac{π}{6}$，$θ=-\frac{π}{12}$；
（2）由已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（sinθ+$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$+cosθ），
所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（sinθ+$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$+cosθ）²=$\frac{3}{2}$+sinθ-cosθ=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，因?yàn)棣取剩?$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
所以$（θ-\frac{π}{4}）∈（-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}）$，所以[$\frac{3}{2}+\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$]∈[$\frac{3}{2}-\sqrt{2}，\frac{5}{2}$]，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，這時(shí)θ的值-$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的求法；關(guān)鍵是利用θ表示向量的模，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形求最值．