Question

已知拋物線D：y²=2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線上一動點，Q是圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一動點，且|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

．
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點N（4，0），交拋物線D與A，B兩點，坐標原點O為線段NG中點，求證：∠AGN=∠BGN．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定圓心坐標為M（-1，2），半徑為

2

2

，將|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

，轉(zhuǎn)化為|PF|+|PM|最小值為2

2

，即|FM|=2

2

，利用兩點間距離公式，求出p，就可以求出拋物線D的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O為NG之中點，故當l⊥x軸時，由拋物線的對稱性知，一定有：∠AGN=∠BGN，當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-4），代入拋物線方程得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能夠證明：∠AGN=∠BGN．

解答： 解：（1）圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

的圓心坐標為M（-1，2），半徑為

2

2

，
∵|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

，Q是圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一動點，
∴當Q、P、F三點共線時，|QF|最小，M、Q、P、F四點共線時，|MF|最小為2

2

，
∴

( p 2 +1)2+4

=2

2

，
∴p=2，
∴拋物線D的方程是y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O為NG之中點，故當l⊥x軸時，由拋物線的對稱性知，一定有：∠AGN=∠BGN，
當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-4），
代入拋物線方程得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2

，x₁x₂=16，
∴k_AG+k_BG=

k(x1-4)

x1+4

+

k(x2-4)

x2+4

=0，
∴∠AGN=∠BGN．

點評：本題考查拋物線方程的求法，直線和拋物線的位置關系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．