Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對于任意的x∈R，都滿足f（-x）=f（x），且對于任意的a，b∈（-∞，0]，當(dāng)a≠b時，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0＜0．若f（m+1）＜f（2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，從而函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故由不等式可得|m+1|＜2，由此求得m的范圍．

解答： 解：由f（-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（|x|）=f（x），
再根據(jù)對任意的a，b∈（-∞，0]，當(dāng)a≠b時，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
故函數(shù)在（-∞，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故由f（m+1）＜f（2），
∴f（|m+1|）＜2
∴|m+1|＜2
可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，
故答案為：（-3，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得到|m+1|＜2是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．