Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（Ⅱ）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T₁₀．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知得{a_n}是首項為8，公差為-2的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．
（Ⅱ）由a_n=10-2n，得當(dāng)n＞5時，a_n＜0；當(dāng)n=5時，a_n=0；當(dāng)n＜5時，a_n＞0．由此能求出T₁₀=2S₅-S₁₀=50．

解答： 解：（I）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=…=a₂-a₁，
∴{a_n}是等差數(shù)列，…（2分）
且a₁=8，a₄=2，∴d=-2，…（3分）
a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．…（4分）
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=8n-n(n-1)=-n2+9n．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5，
當(dāng)n＞5時，a_n＜0；當(dāng)n=5時，a_n=0；
當(dāng)n＜5時，a_n＞0，
∴T₁₀=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|
=S₅-（S₁₀-S₅）
=2S₅-S₁₀
=2（-25+45）-（-100+90）
=50．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查數(shù)列的前10項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想的合理運用．