Question

7．不等式e^x≥kx對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為[0，e]．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=e^x-kx≥0恒成立，即有f（x）_min≥0恒成立；
求f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷f（x）的單調(diào)性，討論k的取值，即可求出k的取值范圍．

解答 解：不等式e^x≥kx對任意實數(shù)x恒成立，
即為f（x）=e^x-kx≥0恒成立，
即有f（x）_min≥0，
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-k，
當(dāng)k＜0，e^x＞0，可得f′（x）＞0恒成立，
f（x）單調(diào)遞增，無最大、最小值，不滿足條件；
當(dāng)k＞0時，x＞lnk時f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x＜lnk時f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以有x=lnk處取得最小值，且為k-klnk，
由k-klnk≥0，解得k≤e，∴0＜k≤e；
又k=0時，e^x≥0恒成立，
綜上，k的取值范圍是[0，e]．
故答案為：[0，e]．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)求最值，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．