Question

4．已知函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在點P處的切線斜率為2
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）化簡g（x）=-x²-x+3lnx+2，再求導(dǎo)g′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+3）}{x}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得，a=-1，b=3．
（2）g（x）=f（x）-2x+2=-x²-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+$\frac{3}{x}$=$\frac{-（x-1）（2x+3）}{x}$，
故g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
故函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2有極大值f（1）=0，無極小值．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．