Question

6．如圖，正四棱錐O-ABCD的棱長均為1，點A、B、C、D在球O的表面上，延長CO交球面于點S，則四面體A-SOB的體積為$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 假設AC與BD相交于點E，則BE⊥平面SAC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．利用正方體的性質與勾股定理的逆定理可得OA⊥OC，利用四面體A-SOB的體積V=V_B-SAO=$\frac{1}{3}$BE•S_△SAO．即可得出．

解答 解：假設AC與BD相交于點E，則BE⊥平面SAC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
連接SA，∵SC是直徑，∴SA⊥AC，
∵OA²+OC²=AC²=2，
∴OA⊥OC，
∴又S_△SAO=S_△OAC=$\frac{1}{2}O{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
四面體A-SOB的體積V=V_B-SAO=$\frac{1}{3}$BE•S_△SAO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定性質定理、正方形的性質、正四面體的性質、球的性質、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．