Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）要使f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1（a＞0），
∴f'（x）=e^x-a，
由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0得，x＜lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，
最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（2）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，
等價(jià)為f（x）_min≥0，
由（1）知，f（x）_min=a-alna-1，
設(shè)g（a）=a-alna-1，
則g'（a）=1-lna-1=-lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由g'（x）＜0得，x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的之間關(guān)系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．