Question

2．函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，試分析判斷y=f（x）的單調(diào)性（不需證明），并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f（0）=0，求解k即可．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式利用函數(shù)恒成立，通過判別式求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴1-（k-1）=0，∴k=2．
（2）f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴$a-\frac{1}{a}＜0$，又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵y=a^x單減，y=a^-x單增，故f（x）在R上單減，
故不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4），∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，
解得-3＜t＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)恒成立條件的轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力．