Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=6，S₇=56，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且2T_n-3b_n+2=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Q_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₃=6，S₇=56，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解出即可得出．由數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且2T_n-3b_n+2=0．利用遞推關(guān)系即可得出．
（II）對(duì)n分類(lèi)討論，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=6，S₇=56，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
∵數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且2T_n-3b_n+2=0．
∴2b₁-3b₁+2=0，解得b₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，2T_n-1-3b_n-1+2=0，
∴2b_n-3b_n+3b_n-1=0，
∴b_n=3b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴b_n=2×3^n-1．
（II）${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-3）
=$2×\frac{k（1+2k-1）}{2}$+2×$\frac{3（{9}^{k-1}-1）}{9-1}$
=2k²+$\frac{3}{4}（{9}^{k-1}-1）$
=$2×（\frac{n+1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}×（{9}^{\frac{n-1}{2}}-1）$．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-1）
=2k²+$2×\frac{3（{9}^{k}-1）}{9-1}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3}{4}（{9}^{\frac{n}{2}}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．