Question

7．如圖，設(shè)正△BCD的外接圓O的半徑為R（$\frac{1}{2}$＜R＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），點A在BD下方的圓弧上，則（$\overrightarrow{AO}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$-$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$）•$\overrightarrow{AC}$的最小值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)三角形為正三角形，再設(shè)∠CAO=θ，得到AC=2Rcosθ，根據(jù)向量的數(shù)量的運算得到（$\overrightarrow{AO}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$-$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$）•$\overrightarrow{AC}$得到2R²cos²θ-2Rcosθ，再構(gòu)造函數(shù)y=2t²-2t=2（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，即可求出最值．

解答 解：∵△BCD為正三角形，
∴∠CAD=∠CAB=∠DAB=∠CBD=60°，
設(shè)∠CAO=θ，
∴AC=2Rcosθ，
∴（$\overrightarrow{AO}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$-$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$）•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$$•\overrightarrow{AC}$=2R²cos²θ-$\frac{1}{2}$×2Rcosθ-$\frac{1}{2}$×2Rcosθ=2R²cos²θ-2Rcosθ，
設(shè)Rcosθ=t，
∵$\frac{1}{2}$＜R＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0°≤θ＜60°，即$\frac{1}{2}$＜cosθ≤1，
∴$\frac{1}{4}$＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$
則y=2t²-2t=2（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
∴當t=$\frac{1}{2}$，y有最小值，即為-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積 的運算以及函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，掌握單位向量的概念，屬于中檔題．