【題目】設(shè)圓的圓心為,直線過點且不與軸、軸垂直,且與圓于, 兩點,過作的平行線交直線于點.
(1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線交于兩點,過且與垂直的直線與圓交于兩點,求與的面積之和的取值范圍.
【答案】(1).(2)
【解析】試題分析:(1)先證明,可得, ,進(jìn)而得,由雙曲線定義知軌跡是雙曲線,從而可得方程;(2)聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消去得,根據(jù)弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式可得三角形面積之和成關(guān)于 的函數(shù),利用單調(diào)心求解即可.
試題解析:(1)
圓,圓心,半徑,如圖所示.
因為,所以.又因為,所以,
所以,
又因為,所以,
故,可得,
根據(jù)雙曲線的定義,可知點的軌跡是以為焦點的雙曲線(頂點除外),
易得點的軌跡方程為.
(2).
依題意可設(shè),
由于,設(shè).
圓心到直線的距離,
所以,
又因為,解得.
聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消去得,
則,
所以,
記的面積分別為,
則,
又因為,所以,
所以的取值范圍為.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用單調(diào)性法法求三角形三角形面積之和的最值的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》,某校計劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程,并對全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與,每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.
上圖中,已知課程為人文類課程,課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合上面圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱“組M”).
(Ⅰ)在“組M”中,選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少?
(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動,從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往,其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動,費用為每人1500元,選擇課程G的同學(xué)參加,費用為每人2000元.
(ⅰ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)中選擇課程的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列;
(ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費用總和,求隨機(jī)變量的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且當(dāng)x= 時,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的圖象(要列表);
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且y=g(x)是偶函數(shù),求m的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在等腰梯形中, .把沿折起,使得,得到四棱錐.如圖2所示.
(1)求證:面面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93,下列說法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個極值點,其中為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在區(qū)間(﹣∞,1]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(﹣2, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ , )
D.(﹣∞,6]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,試求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)試求在上的最大值;
(3)當(dāng)時,求證:對于恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體由一個正三棱柱截去一個三棱錐而得, , , , 平面, 為的中點, 為棱上一點,且平面.
(1)若在棱上,且,證明: 平面;
(2)過作平面的垂線,垂足為,確定的位置(說明作法及理由),并求線段的長.
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