Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c過(guò)（0，-1）和（1，-2m）（m為常數(shù)）兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用代入法，得到方程，解出即可得到解析式；
（2）求出對(duì)稱軸方程，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，分當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，當(dāng)1＜m≤2時(shí)，當(dāng)m≥2時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值．

解答： 解：（1）由于f（x）的圖象經(jīng)過(guò)（0，-1）和（1．-2m），
則c=-1，1+b+c=-2m，即b=-2m，
則f（x）=x²-2mx-1；
（2）由于f（x）的對(duì)稱軸x=m，
①當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在[0，2]單調(diào)遞增，
則f（x）_max=f（2）=3-4m，f（x）_min=f（0）=-1；
②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）在[0，m]遞減，[m，2]遞增，
則f（x）_max=f（2）=3-4m，f（x）_min=f（m）=-1-m²；
③當(dāng)1＜m≤2時(shí)，f（x）在[0，m]遞減，[m，2]遞增，
則f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（m）=-1-m²；
④當(dāng)m≥2時(shí)，f（x）在[0，2]遞減，
則f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（2）=3-4m．
綜上，可得，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）_max=3-4m，f（x）_min=-1；
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）_max=3-4m，f（x）_min=-1-m²；
當(dāng)1＜m≤2時(shí)，f（x）_max=-1，f（x）_min=-1-m²；
當(dāng)m≥2時(shí)，f（x）_max=-1，f（x）_min=3-4m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題．