Question

13．已知橢圓W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)F₁作直線l₁與橢圓W交于點(diǎn)A，C，過點(diǎn)F₂作直線l₂⊥l₁，且l₂與橢圓W交于點(diǎn)B，D，l₁與l₂交于點(diǎn)E，試求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義及焦距|F₁F₂|=2c=2，求得a和c的值，則b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的方程及離心率．
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=4，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式分別求得丨AC丨，丨BD丨根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：|F₁F₂|=2c=2，c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=2，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)直線l₂⊥l₁，當(dāng)斜率不存在時(shí)，EF₁⊥EF₂，此時(shí)求得丨EO丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=1，
∴E點(diǎn)軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，顯然點(diǎn)E在橢圓W上內(nèi)部，
∴四邊形ABCD面積S=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BE丨+$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨DE丨=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨，
將x=-1代入橢圓方程，求得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)丨BD丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，丨AC丨=2$\sqrt{3}$，
則四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=4，
當(dāng)直線l₂，l₁都存在時(shí)，設(shè)直線l₁，x=my-1，（m≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2m²+3）y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2{m}^{2}+3}$，
則丨AC丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2{m}^{2}+3}$，
同理直線l₁，x=-$\frac{1}{m}$x+1，同理求得丨BD丨=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2+3{m}^{2}}$，
∴四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2{m}^{2}+3}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2+3{m}^{2}}$，
=$\frac{24（{m}^{2}+1）^{2}}{（2{m}^{2}+3）（3{m}^{2}+2）}$，
=$\frac{24（{m}^{4}+2{m}^{2}+1）}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$=4×$\frac{6{m}^{4}+12{m}^{2}+6}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$，
=4（1-$\frac{{m}^{2}}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$）＜4，
綜上可知四邊形ABCD面積的最大值4，此時(shí)直線l₂，l₁一條為橢圓的長軸，一條與x軸垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查函數(shù)的單調(diào)性及橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．