Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若F為橢圓C的右焦點(diǎn)，橢圓C與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與橢圓C相交于另一點(diǎn)A，且滿足$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，求△ABF外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$代入橢圓C方程以及$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$計(jì)算可得A（0，-1）或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，分A為（0，-1）、A為$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$，①
∵橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b² ②
聯(lián)立①②解得：a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）∵橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
∴F（1，0），B（0，1）．
設(shè)A（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，③
∵$\overrightarrow{BA}=（{x_0}，{y_0}-1），\overrightarrow{BF}=（1，-1）$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，
∴x₀-（y₀-1）=2，即y₀=x₀-1，④
聯(lián)立③④解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\{y_0}=-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{4}{3}\\{y_0}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
∴A（0，-1），或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，
當(dāng)A為（0，-1）時(shí)，∵|OA|=|OB|=|OF|=1，
∴△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，
此時(shí)外接圓的方程為：x²+y²=1；
當(dāng)A為$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$時(shí)，設(shè)△ABF的外接圓方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}1+D+F=0\\ 1+E+F=0\\ \frac{17}{9}+\frac{4}{3}D+\frac{1}{3}E+F=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-\frac{4}{3}\\ E=-\frac{4}{3}\\ F=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
此時(shí)外接圓的方程為：${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=0$，
綜上所述，△ABF的外接圓的方程為：x²+y²=1或${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓、圓的方程，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．