Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x≤-3}\\{2x，x＞-3}\end{array}\right.$且f（x₀）=8，則x₀=4，f（x）的值域為（-6，+∞）．

Answer 1

分析 當x₀≤-3時，${{x}_{0}}^{2}+2=8$，當x₀＞-3時，2x₀=8，由此能求出f（x₀）=8時，x₀的值．當x≤-3時，f（x）=x²+2≥11，當x＞-3時，f（x）=2x＞-6．由此能求出f（x）的值域．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x≤-3}\\{2x，x＞-3}\end{array}\right.$，且f（x₀）=8，
∴當x₀≤-3時，${{x}_{0}}^{2}+2=8$，解得${x}_{0}=±\sqrt{6}$，不成立；
當x₀＞-3時，2x₀=8，解得x₀=4，成立．
∴f（x₀）=8時，x₀=4．
當x≤-3時，f（x）=x²+2≥11，
當x＞-3時，f（x）=2x＞-6．
∴f（x）的值域為（-6，+∞）．
故答案為：4，（-6，+∞）．

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．