Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mx²-2x+lnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）是增函數(shù)?f′（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2≥0?m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$都成立，利用導(dǎo)數(shù)即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+lnx-2x在定義域（x＞0）內(nèi)是增函數(shù)，
∴f′（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2≥0，化為m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$．
令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=-$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．
因此當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 正確把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值是解題的關(guān)鍵．