Question

（2013•宜賓一模）已知函數(shù)f（x）=sin（

π

2

-x）cosx-sinx•cos（π+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A為銳角，且f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）解析式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（A）=1，以及第一問(wèn)化簡(jiǎn)得到f（x）解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再由BC，sinB及sinA的值，利用正弦定理即可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1

2

（cos2x+sin2x+1）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵ω=2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵f（A）=

2

2

sin（2A+

π

4

）+

1

2

=1，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，
∵A為銳角，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，即A=

π

4

，
∵BC=2，B=

π

3

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：AC=

2sin π 3

sin π 4

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．